МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА

 

 
"РОЛЬ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА В ОБЕСПЕЧЕНИИ УСТОЙЧИВОГО ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ ЭКОСИСТЕМ "
 
(МАТЕРИАЛЫ МЕЖДУНАРОДНОЙ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ)
 
Москва 2006

УДК 519.8:626/627

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО РЕЖИМА

ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ

 

Л.Ю. Ногинова – к.физ.-мат.н. доцент

ФГОУ ВПО «Московский государственный университет природообустройства»,

г. Москва, Россия

 

При разработке и проектировании гидротехнических сооружений огромную роль играет точный расчет протекающих в них тепловых процессов как на этапе строительства, так и во время эксплуатации. Даже небольшие перепады температуры внутри элементов конструкции могут вызывать значительные механические напряжения и приводить не только к преждевременному «старению» но и к катастрофическому разрушению  гидротехнических сооружений. Ярким примером важности и актуальности точного моделирования температурного режима является проблема проектирования и строительства в условиях вечной мерзлоты так называемых «мерзлых» плотин, в которых водонепроницаемость создается промораживанием грунтов основания и тела плотины (рисунок из [1]).

 

1 – мерзлая зона, 2 – талая зона, 3 граница оттаивания основания платины и ложа

водохранилища под действием теплой воды

При эксплуатации таких сооружений оттаивания мерзлоты в пределах ядра плотины и основания под ним не допускается.

Использование традиционных численных методов (конечно-разностных и конечно-элементных) для решения этих задач наталкивается на серьезные трудности из-за следующих основных причин:

для получения результатов с приемлемой для практики точностью необходимо вводить большое число расчетных узлов или элементов;

для данного класса задач характерна сложная трехмерная геометрия, наличие внутренних границ материалов конструкции с разными коэффициентами теплопроводности;

наличие относительно тонких и протяженных вставок из материалов с большим коэффициентом теплопроводности (например, металлическая арматура в железобетонных конструкциях) может приводить к большим локальным градиентам температуры и вызывать значительные вычислительные трудности;

большое число расчетных узлов увеличивает время счета и затрудняет компьютерное моделирование тепловых процессов в гидротехнических сооружениях.

Перечисленные причины приводят к выводу о необходимости поиска новых методов решения краевых задач со сложными граничными условиями. Одним из таких методов является метод дискретных особенностей (МДО).

Метод дискретных особенностей (МДО) впервые был использован в гидродинамике для расчета течений несжимаемой жидкости. Впоследствии он успешно применялся для решения разнообразных задач гидродинамики, электростатики и электродинамики, теории упругости. В статье рассмотрено обобщение этого метода на стационарные и нестационарные задачи теплопроводности в твердых телах.

Рассмотрим решения стационарных задач теплопроводности с помощью МДО. Как известно, стационарная задача теплопроводности в твердых телах сводится к краевой задаче для уравнения Лапласа или Пуассона (если расчетная область содержит источники тепла). Далее будем рассматривать только задачи для уравнения Лапласа, так как обобщение на уравнение Пуассона тривиально.

Пусть S – достаточно гладкая замкнутая плоская кривая (для пространственных задач – достаточно гладкая замкнутая поверхность),  – конечная, ограниченная этой кривой (поверхностью) область,  подобласть с внутренним тепловыделением. Требуется найти решение уравнения Лапласа  в области , если на отдельных участках, , границы S, заданы граничные условия, соответственно, 1-го, 2-го или 3-го рода:

;               

.

При наличии в области  сред 1 и 2 с различными теплопроводностями l(1) и l(2) на границе их раздела («внутренней границе)  задаются условия непрерывности температуры и теплового потока (условия 4-го рода):

;

.

В приведенных соотношениях   – единичный вектор внешней нормали к ,   – нормальная производная функции  T  на  ;   – заданная функция точки  .

Область  может содержать неоднородности, представляющие собой участки, теплопроводность которых отличается от теплопроводности l области. В общем случае на границах таких участков должны задаваться условия 4-го рода.

Рассмотрим неоднородности частного вида, характеризующиеся тем, что один из их размеров мал по сравнению с остальными размерами. При постановке плоских задач такие неоднородности будем называть линейными, при постановке пространственных задач - поверхностными. Будем предполагать, что их можно аппроксимировать линиями или поверхностями. На этих линиях (поверхностях) можно задать граничное условие 5-го рода

-,

где  – единичный вектор нормали к линии (поверхности) , аппроксимирующей линейную (поверхностную) неоднородность;  ,  – температуры по разные стороны кривой (поверхности) , ,  – теплопроводность и толщина неоднородности.

Если на всей границе S заданы граничные условия и/или 1-го и 2-го родов, а «внутренняя граница» отсутствует, то имеем классические задачи Дирихле или Неймана. Для плоской и пространственной внутренней задачи Неймана необходимо условие корректности, которое имеет вид

при этом решение единственно с точностью до произвольной константы.

Решение стационарной задачи теплопроводности в общем случае может быть записано с помощью формулы Грина [2,3] в виде интегралов, являющихся поверхностными потенциалами:

 ( на плоскости),

 ( в пространстве).

где  , , , ,  – радиус-вектор точки Р;  – единичный вектор внешней нормали к S в точке Р, ;  – радиус-вектор точки М, T0 =const.

Введем определение потенциала простого слоя:

 (на плоскости)

  (в пространстве)

и потенциала двойного слоя:

 ( на плоскости);

 (в пространстве),

где ,     функции плотности простого и двойного слоев. Тогда решение задачи можно записать через суперпозицию потенциалов простого и двойного слоев, расположенных на линиях  и  соответственно. Таким образом, участки границы, на которых заданы условия первого рода, моделируются тепловыми диполями, а граничные условия второго и третьего рода - тепловыми источниками [1]:

;

                          ,

где      ,     ,       для плоскости, и

,         для пространства,

     вектор проведенный из точки P в точку M;       единичный вектор внешней нормали к S в точке P; ,,    неизвестные функции плотности простого и двойного слоев.

Граничные условия  совместно с формулой Грина дают систему интегральных уравнений  Фредгольма 2-го рода для определения неизвестных функций ,, и константы  :

;

;

где    , 

для плоскости:   ,    ;

для пространства: , , и в системе интегральных уравнений  всюду заменяется на .

Сингулярные интегралы во всех выражениях следует понимать в смысле главного значения.

Для численного решения полученной системы интегральных уравнений разобьем каждый из участков  границы S на  отрезки,  длина каждого из которых равна d. В точках     середине каждого отрезка разместим соответствующую дискретную особенность. Такой подход соответствует простейшей из возможных кусочно-постоянной аппроксимации функций плотности ,. В принципе возможно использование более сложных способов аппроксимации этих функций, например, с помощью сплайнов [5].  Приближенное решение можно записать в виде:

 ,

при условии .                          

Таким образом, интегральные уравнения  сводятся к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных интенсивностей , и константы , которую легко можно решить, например методом исключения Гаусса:

,

           ;                                                                                    

,

           ;                                                                                      

           .

Условие , означает, что из соответствующих сумм отброшены сингулярные члены, что при равномерном разбиении границы S равносильно выделению главного значения исходного сингулярного интеграла [4].

При наличии в области  сред 1 и 2 с различными теплопроводностями l(1) и l(2) на границе их раздела («внутренней границе») задаются условия непрерывности температуры и теплового потока (условия 4-го рода):

брошены сингулярные члены, что при равномерном разбиении границы S равносильно выделению главного значения исходного сингулярного интеграла [4].

Предложенный метод позволяет успешно решать практические задачи моделирования температурных режимов гидротехнических сооружений и обладает рядом неоспоримых достоинств перед традиционным подходом:

неизвестные функции плотности простого и двойного слоев задаются не на всей области, а только на ее границе, что обусловливает понижение размерности искомых функций и, следовательно, повышение экономичности расчетов;

хорошая приспособленность для областей, имеющих сложные границы и содержащих неоднородности;

возможность вычисления значений поля температур и его производных (то есть тепловых потоков) в любой точке области без использования процедур интерполяции;

легкая адаптация на нестационарные задачи.

 

Библиографический список

 

1.      Биянов Г.Ф. Платины на вечной мерзлоте. – М.: Энергия, 1975.

2.      Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1967.

3.      Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972.

4.      Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. – М.: Наука, 1985.

5.      Цой П.В. Методы расчета задач тепло - массопереноса. – М.: Энергоатомиздат, 1984.