МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА

 

 
"РОЛЬ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА В ОБЕСПЕЧЕНИИ УСТОЙЧИВОГО ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ ЭКОСИСТЕМ "
 
(МАТЕРИАЛЫ МЕЖДУНАРОДНОЙ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ)
 
Москва 2006

УДК 624.01:539.3/4

Стохастические задачи термоупругости  специальных

цилиндрических оболочек

 

Е.С. Жбанов – аспирант

ФГОУ ВПО  «Московский государственный университет природообустройства»,

 г. Москва, Россия

 

Рассмотрим систему коаксиальных цилиндрических оболочек, связанных специальной системой опор, например, равномерно распределенных по окружной координате (рис. 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

Для определения напряженно-деформированного состояния указанной системы коаксиальных трубопроводов применим теорию тонкостенных цилиндрических оболочек в линейной постановке.

Система коаксиальных оболочек находится в поле случайного температурного воздействия со стороны внешней среды, температура которой описывается случайной функцией Т+(х, t), или внутренней среды с температурой Т- (х, t).

Считаем, что температурное поле внешнего воздействия можно представить как сумму математического ожидания и пульсационной составляющей. Тогда в силу линейности решаемых задач приходим к необходимости решать сначала задачу термоупругости в детерминистической постановке относительно математических ожиданий полей температуры перемещений, а затем вероятностных задач теплопроводности и термоупругости.

Рассмотрим систему уравнений нестационарной теплопроводности. Пусть теплообмен на границе между внешней оболочкой и средой с температурой Т+, а также на границе между внутренней оболочкой и средой с температурой Т- осуществляется согласно закону Ньютона с коэффициентом теплоотдачи а+ и а-. Последнее обстоятельство учтено при выводе дифференциальных уравнений нестационарной теплопроводности на основе вариационного принципа теплопроводности [6].

Теплообмен между оболочками отсутствует, так как в промежуточном слое вакуум, который обеспечивается специальными конструктивными мероприятиями.

Считаем, что дисперсии температуры окружающей среды и оболочек достаточно малы и оценки математических ожиданий температуры оболочек не выходят за рамки температурных интервалов, в которых необходимо учитывать зависимость теплофизических и упругих параметров от температуры.

Примем линейный закон распределения температуры по толщине оболочек

                                                                                         (1)

где   T температура срединной поверхности k-й оболочки;  T средний приведенный градиент температуры;  t время;   zk нормальная координата.

В качестве основных уравнений теплопроводности примем систему из работы [6], модифицировав ее соответствующим образом:

       

                          (2)

Уравнения (2) записаны в безразмерной форме с помощью параметров:

                                 

                                                         (3)

где    оператор Лапласа; ak температуропроводности материала k-й оболочки; коэффициенты Био;  RK наружный радиус наружной оболочки системы; ξ,k = 1, если k= 1, и ξ,k=(ah)(ah), если k = 2; δkj символ Кронекера; звездочкой помечены размерные величины.

Введем дополнительно гипотезу о том, что наличие опор не вносит существенного искажения в температурные поля как во внешней среде с температурой T+ , так и во внутренней с температурой Т-

Вопросы, связанные c границами применимости представления распределения температуры по толщине оболочек (1), рассмотрены в работе [6]. Допущение (1) справедливо при одновременном вы­полнении  следующих  неравенств:

                                                        

где hk толщина k-й оболочки (k =1 соответствует внутренней оболочке, k = 2 наружной);  Rh радиус срединной поверхности k-й оболочки; ξ,k характерный масштаб изменения температуры срединной поверхности; Тк характерное время корреляции температуры.

Соотношения (4) легко проверить при численной реализации соответствующей методики решения как задач в детерминистической постановке, так и вероятностных задач теплопроводности.

Неизвестные функции математических ожиданий параметров распределения температур Т) и Т2(к) по толщине оболочек можно определить, решив уравнения (2) с соответствующими краевыми и начальными условиями. При этом входными функциями являются математические ожидания внешних температурных полей  Т+ (х, t) или Т_ (х ,t).

Рассмотрим уравнения несвязанной, квазистатической, линейной теории термоупругости коаксиальных оболочек.

Материал оболочек считаем однородным, изотропным и упругим. Считая оболочки достаточно тонкими, можно использовать классическую теорию оболочек, основанную на гипотезах Кирхгофа-Лява.

Предположив, что упругие характеристики не зависят от температуры, уравнения теории тонких упругих оболочек можно получить из вариационного принципа.

Уравнения технической теории цилиндрических оболочек в перемещениях имеют вид:

                              

                                                        (5)

где    vк коэффициент Пуассона материала оболочек (считаем, что оболочки в общем случае выполнены из разных материалов);  аl(k) температурные коэффициенты линейного расширения материала оболочек;  линейные дифференциальные операторы теории оболочек:

                                  

                                  

                                          (6)

 

Напряжения в оболочках системы определяют по формулам:

 

                                                                   (7)

где   Eк модули упругости материалов оболочек;  продольные, окружные и нормальные перемещения срединных поверхностей оболочек.

Необходимо отметить, что система управлений термоупругости (5) распадается на две (для каждой оболочки в отдельности), но решать их необходимо совместно, так как краевыми условиями для системы опор связаны перемещения на серединных поверхностях коаксиальных оболочек.

Рассмотрим локальную зону в системах коаксиальных трубопроводов специального назначения. Введем понятие суперэлемент, подразумевая под ним локальную зону, протяженностью не более длины зоны краевого термоупругого эффекта в соответствующих цилиндрических оболочках. Эта зона примыкает к системе внутренних (внешних) опор. Внешний трубопровод наружными опорами жесткостью c0 связан с системой конструктивных элементов, обеспечивающих ориентацию в пространстве всей системы трубопроводов.

Пусть в сечении x1= 0 суперэлемент оболочки связаны одна с другой внутренними опорами. Рассмотрим одну из возможных конструктивных форм реализации системы внутренних опор оболочки, которую можно аппроксимировать системой радиальных пружин, имеющих распределенную по окружности жесткость c.

Тогда силу реактивного взаимодействия оболочек определим по формуле

                                                              q = c (- ).                                                          (8)

В дальнейшем жесткость c считается детерминированной.

Решение вероятностных задач теплопроводности и термоупругости. Считая известными математические ожидания полей напряжений, рассмотрим решение вероятностных задач теплопроводности и термоупругости для коаксиальных оболочек. В связи с этим считаем поля температур и напряжений центрированными, а статистические характеристики случайных температурных полей внешнего воздействия Т+ или Т_ известными [1-6].

Пусть температурные поля в указанных средах являются стационарными во времени и однородными по продольной координате случайными функциями. Изменение температур по окружной координате считаем периодическим. Тогда для искомых параметров распределения температуры справедливы разложения типа приведенных в работах [3, 4, 8].

Система уравнений для определения базисных функций параметров распределения температуры по толщине каждой оболочки суперэлемент имеет вид:

     

     

     

                     (9)

где  базисные функции в разложениях для параметров распределения температуры по толщине каждой оболочки» то есть Т1(к) , Т2(к) , соответственно.

Систему уравнений (9) относительно базисных функций распределения температуры решаем для каждой оболочки отдельно с помощью стандартных программ решения систем линейных уравнений на ЭВМ. Решение выполняем в пространстве волновых чисел.

Спектры параметров распределения температуры в коаксиальных оболочках определяем по формуле

                                                                               (10)

справедливой для случая, когда температурное поле во внешней среде описывается спектральной плотностью S+ (во внутренней среде пульсаций температуры нет, то есть S- = 0).

Рассмотрим уравнения термоупругости. Пусть случайное деформирование суперэлемент описывается в рамках гипотез Кирхгофа-Лява для каждой оболочки в геометрически и физически линейной постановке.

Учет краевых условий в сечении х1 = 0 суперэлемент приводит к тому, что в соответствии с гипотезами о температурном поле в оболочках поля перемещений и напряжений в суперэлементе будут стационарны во времени, неоднородны по продольно коорди- нате и периодичны по окружной, то есть для обобщенного вектора, элементами которого являются перемещения срединных поверхностей оболочек и напряжения, справедливо разложение

                                                   (11)

где  k  вектор волновых чисел: k = (kl  k2);  ω частота;  n = k2/Rн; Q (k, ω) дельта-коррелированная случайная функция со спектральной плотностью S+.

Рассмотрим осесимметричной деформирование суперэлемент. Тогда порядок дифференциальной системы снижается до двадцать четвертого.

Для решения вероятностной задачи термоупругости для суперэлемента методом дискретных трансформант Фурье введем вектор решений следующим образом:

y = (V  V,  V ,  V, V V ,

V ,V ,V,…, V, V ,…,

                                               V ,V,…, V ,V ,…,V).                                       (13)

Здесь штрихи означают производные по продольной координате. Тогда  ненулевые элементы матрицы коэффициентов  канонической системы метода дискретных  трансформант Фурье  dy/dx1 = A у + q и входного вектора температурного воздействия определим из выражений

αi,i+1=1,    i = 1, 2, 3;    αi,i+1=0,    j = 2k,    k = 1,4;   

α12,13 = α16,17 = α20,21 = 0;    α12,9 = α16,3= ;   α12,10 = α16,14= ;

α20,17= α24,21= ;   α20,18= α24,22= ;

q2=;    q4=;   q6=;   q8=;

  

  

            

                                                                                                     (14)

При принятой аппроксимации опорных закреплений краевые условия для сечения x1=0 суперэлемента записываем в виде:

                     uk = 0;     υk = 0;     = 0;     Q= -q;     Q= -q;                          (15)

После реализации метода дискретных трансформант Фурье к условиям (15) получаем выражения:

V = V = V = V = 0;   V= V= 0

V- С V+ С V= 0; V- CV+ CV= 0;

V- CV+ CV= 0;

                                                 V- CV+ CV= 0.                                              (16)

Для применения численного метода Годунова [5, 7] систему краевых условий (16) записываем в матричной форме. Ненулевые элементы матрицы коэффициентов размерностью (12x24)  определяем из выражений:

b11 = b23 = b35 = b47 = b6,10 = b8,14 = b10,18 = b12,12 =1;

b59 = b7,13 = b9,17 = b11,21 = -C;    b5,12 = b7,16 = p1 ;

b59 = b7,13 = b9,17 = b11,21 = -C;    b5,12 = b7,16 = p1 ;

b5,17 = b7,21 = b99 = b11,13 = C;     b9,20 = b11,24 = p2 ;

                                                                                                        (17)

Пространственно-временные спектры случайных полей перемещений в оболочках суперэлемента вычисляем по формулам, аналогичным (10).

Базисные функции полой напряжений и перемещений связаны соотношениями упругости выражениями (7).

В итоге получаем действительный и мнимые части дискретных трансформант полей

напряжений в цилиндрических оболочках коаксиальной системы. Приведём выражения, полученные для осесимметричной задачи (к2 = 0):

                 

                

                 

                                                                                                    (18)

Выражения для  и  получаем из (18) путем замены у дискретных трансформант Фурье перемещений и температуры индексов rm.

При осесимметричной деформировании для вычисления пространственно-временных спектров полей термоупругих напряжений в оболочках суперэлемента можно использовать выражение

                                                                     (19)

Для расчета статистических характеристик перемещений и напряжений в локальных зонах коаксиальных цилиндрических оболочек используем модифицированный вычислительный программный комплекс решения вероятностных краевых задач термомеханики для трехслойных оболочек, ориентированный на применение ЕС ЭВМ в системе ОС [2]. Считаем, что оболочка подвержена случайному температурному воздействию со спектральной плотностью, записанной в безразмерном виде:

                                       .                                                 (20)

Примем следующие параметры системы:

m0 = R/R = 0,66;  y1 = h/R = 0,033;   y1 =  h/R  = 0,033;   p = m0 ( 1 - y1/2 );

p = 1 – y2/2;   = 1;  S = 0,25;  y0 = 10;  k01 = 1;  C = 4 ·10;  R = 15 см;

l= 1;  E = E = 210 ГПа; v1 = v2 = 0.3;  =  = 0,05z = zk*/ R = yk/ 2,                (21)

где  l* длина отрезка интегрирования, на концах которого должны быть выполнены условия (16);   ω , ∆k шаги дискретизации пространства волнового числа и частоты.

На рисунке 2 приведены сечения поверхности спектральной плотности напряжений δ плоскостями k1 = const.

 

                                  рис 2                                                                  рис 3

 

Сечения поверхности пространственно-временного спектра напряжений δ плоскостями ώ = const показаны на рис. 3.

Здесь и далее все зависимости приведены в пространстве безразмерных параметров; переход к соответствующим размерным величинам можно выполнить по формулам (3) и (18).

Анализ зависимостей на рис. 2 и 3 позволяет сделать вывод: поля пульсаций термоупругих напряжений в коаксиальных оболочках имеют широкополосный спектр, энергия которого концентрируется в следующих интервалах: –0,9<ω<0,9;  –1,1<к1<1,1

Плавный рельеф поверхностей спектров позволяет при вычислении дисперсии использовать квадратурные формулы. Интенсивность напряжений

                                                                                                               (22)

 

Библиографический список

 

1.         Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. (2-е изд., перераб. и доп.) – М.: Стройиздат, 1982. 351 с.

2.         Бутко А.М., Новичков Ю. Н. Расчет стохастических характеристик напряжений в многослойных цилиндрических оболочках при тепловом воздействии. //Расчеты на прочность. – М.: Машиностроение,  1986. Вып. 27. С. 261-274.

3.         Бутко А. М., Новичков Ю. Н. Стохастическая термоупругость слоистых оболочек. //Изв. АН СССР. МТТ. 1988. № 2. С. 140-150.

4.         Бутко А.М., Новичков Ю.Н. Применение континуальных моделей к расчету случайных термоупругих напряжений в слоистых оболочках.  //Расчеты на прочность.– М.: Машиностроение, 1988. Вып. 28. С. 215-232.

5.         Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.//Успехи матем. наук. 1961. Т.16. Вып.3. С.171-174.

6.         Москаленко В.Н., Харионовский В.В. Прочность элементов теплообменных устройств в условиях случайных пульсаций температур. – М.: Атомиздат, 1979. 118 с.

7.         Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник. – М.: Машиностроение, 1981. 216 с.