МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА

 

 
"РОЛЬ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА В ОБЕСПЕЧЕНИИ УСТОЙЧИВОГО ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ ЭКОСИСТЕМ "
 
(МАТЕРИАЛЫ МЕЖДУНАРОДНОЙ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ)
 
Москва 2006

УДК 631.6

Усеченное модифицированное нормальное распределение осадков для моделирования орошения

 

 

С.А. Ложечкин – аспирант;  Э.П.Кондаков – к. физ.-мат. н., проф.

ФГОУ ВПО «Московский государственный университет природообустройства»,

г. Москва, Россия

 

При проектировании оросительных систем, а также при компьютерном моделировании орошения часто возникает необходимость выделять типичные по влажности годы. Обычно рассматривают пять градаций годов:  влажный; умеренно-влажный; нормальный; полусухой; сухой.

При компьютерном моделировании очень важно знать вероятности этих годов, а также законы распределения осадков в виде плотностей вероятностей [1, 2].           Попытка применить для обработки данных по осадкам нормальное распределение выявила следующий парадокс: как известно, нормальное распределение определено на всей числовой оси. Но для засушливых лет характерны небольшие средние осадки и большой разброс их около среднего значения. Это приводит к тому, что при нормальном распределении вероятность получить отрицательные осадки (что не имеет физического смысла) оказывается существенной.

   Например,  по данным об осадках в северных прикаспийских степях [3], выборочное среднее по осадкам в мм – 8,35, а выборочное среднее квадратическое  отклонение – 10,126 мм. На рис 1а показана кривая нормального распределения с этими параметрами. Заштрихованная площадь равна вероятности получить отрицательное значение осадков. Эта вероятность равна 0,417 (рассчитана по таблице функции Лапласа). Таким образом, при применении нормального распределения «отрицательные осадки» получаются почти в половине случаев неприемлемо.

                                    а)                                                                                б)

 

Рис. 1. Распределение осадков по годам в мм:

а) распределение осадков в прикаспийских степях; б) усеченные модифицированные

нормальные распределения осадков в прикаспийских степях

  

В научной литературе описываются способы подбора распределений вероятностей определенных только на положительной полуоси и других особых распределений (двухвершинных, асимметричных и т.д.) [4]. Однако применение этих таблиц делает задачу подбора параметров распределения нестандартной – для каждого нового распределения нужно разрабатывать свой алгоритм, составлять и отлаживать новую компьютерную программу.

   Поэтому была поставлена задача разработать единый алгоритм определения плотности вероятностей для любого распределения, основой которого является нормальное распределение. и составить и отладить для реализации этого алгоритма компьютерную программу.

   Отработка алгоритма и программы проводилась на данных об осадках за 73 года по Московской области и на данных по осадкам в прикаспийских степях.

   Рассматривались два варианта алгоритма. Первый алгоритм предполагалось  применять в тех случаях, когда вероятность получить «отрицательное значение осадков» представлялась несущественной. Второй алгоритм применялся тогда, когда «отрицательные значения осадков» считались недопустимыми.

Плотность вероятности в первом случае определялась формулой

                                         .                                                (1)

Во втором случае плотность вероятностей определялась формулой (2).

                                       ,                                                     (2)

            при  х> = 0  и   f(x) = 0  при отрицательных  значениях x.

 

В формуле (1) под знаком суммы записаны плотности вероятностей виде нормальных распределений, каждое со своими параметрами. Множитель 1/n введен для того, чтобы выполнялось условие .

   Условимся называть такое распределение «модифицированным нормальным распределением».

   Для поиска параметров модифицированного нормального распределения, то есть чисел  и  применялся алгоритм простого случайного поиска.  С помощью  датчика случайных чисел формировали значения  и , где d, D – случайные составляющие, а ,    заданные начальные параметры (среднее и СКО). Далее вычислялась сумма квадратов отклонений модифицированного нормального распределения f(x) от точек гистограммы. Если вычисленная сумма оказывалась меньше предыдущей, то выполнялась замена  и , и процесс продолжался.

Для определения окончательных значений параметров распределения число испытаний превышало 100-200 тысяч.

   Второй алгоритм отличался от первого тем, что после определения параметров вычислялся интеграл  и определялся поправочный коэффициент k = 1/S. После этого плотность f(x) умножалась на k и вновь определялись параметры  и . Условием окончания процесса подбора параметров была близость суммы квадратов отклонений к нулю и значения   k   к единице.

 

Рассмотрим результаты применения этих алгоритмов подробнее

В таблице 1 приведены частичные интервалы по осадкам  в прикаспийских степях в 1952-1977 гг., относительные частоты попаданий осадков в интервалы и высоты столбиков гистограммы. По данным этой таблицы по указанному выше алгоритму рассчитывалось усеченное модифицированное нормальное распределение при одном слагаемом в сумме и при двух слагаемых. На рис. 1б приведены полученные результаты.

Видно, что при N = 1 и N = 2 получились графики плотности вероятностей,  которые показывают, что вероятность отрицательных значений осадков равна нулю. Это значит, что нормальные распределения, которые положены в основу при расчетах плотности вероятностей «усечены» слева. Для краткости такие распределения в дальнейшем будем называть усечёнными модифицированными нормальными распределениями. Что касается различий между распределениями при N = 1 и N = 2, то в этом примере следует признать их несущественными, так как оба распределения выделяют одну и ту же область осадков 4-12 мм повышенной плотностью вероятности.

Таблица 1

Данные для построения гистограммы относительных частот

 

Осадки,  мм

0-10

10,01-20

20,01-30

30,01-40

40,01-50

50,01-60

60,01-70

Относительная частота

 

0,75

 

0,14

 

0,05

 

0,02

 

0,02

 

0,01

 

0,001

Высота столбца

 

0,075

 

0,014

 

0,005

 

0,002

 

0,002

 

0,001

 

0,001

 

   В качестве примера рассмотрим еще один вариант обработки данных при помощи усеченного модифицированного нормального распределения – это осадки августа в Московской области. Исходные данные для расчетов приведены в табл. 2.

Таблица 2

Осадки августа, мм

 

Интерва-

лы по

осадкам

1-17,3

17,31-33,6

33,61-49,90

49,91-66,20

66,21-85,50

82,51-98,80

98,81-115,10

115,11-131,40

131,41-147,70

147,71-164,0

Относит.

частоты

 

0,04109

 

0,09589

 

0,19178

 

0,12329

 

0,16438

 

0,08219

 

0,17808

 

0,04196

 

0,05479

 

0,02739

Высота

столбиков

 

 

0,00252

 

 

0,00588

 

 

0,01176

 

 

0,00756

 

 

0,01008

 

 

0,00504

 

 

0,01092

 

 

0,00252

 

 

0,00336

 

 

0,00168

 

 

   На рисунке 2 приведена гистограмма  (ступенчатая линия) и плотности  усечённых модифицированных нормальных распределений, подобранные при N = 1 и N = 2.  Видно, что алгоритм  при N = 2 позволил учесть «двухвершинность» распределения. Учитывая это, для обработки данных об осадках далее всюду использовалось усеченное модифицированное нормальное распределение при N = 1 или N = 2.

В результате проделанной работы можно сделать вывод о том, что усеченное модифицированное нормальное распределение осадков позволяет достаточно точно описывать фактическое распределение осадков. Оно позволяет устранить появление «отрицательных осадков» и учесть многовершинность и асимметричность их распределений.

 

 

 

Рис 2. Усеченное модифицированное нормальное распределение осадков в августе

в Московской области

 

Библиографический список

 

1.         Богушевский А.А,  Голованов А.И, Кутергин В.А. Сельскохозяйственные гидротехнические мелиорации. – М.: Колос, 1981.

2.         Лаукс Д,   Стединжер Дж, ХейтД. Планирование и анализ водохозяйственных систем.  – М.: Энергоатомиздат, 1983.

3.         Сотнева Н.И.  Динамика климатических показателей второй половины ХХ века Северного Прикаспия. /Сб. научных трудов МГУП. – М.: МГУП, 2004.