Московский Государственный Университет Природообустройства
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА

Кафедра комплексного использования водных ресурсов

           Содержание
 Введение
 Осн. обозначения

Лекционный курс
 Лекция № 1-2
 Лекция № 3-4
 Лекция № 4-5
 Лекция № 6
 Лекция № 7
 Лекция № 8

Практический курс
 Практика № 1
 Практика № 1-2
 Практика № 2-3
 Практика № 4
 Практика № 5
 Практика № 6
 Практика № 7
 Практика № 8
 Практика № 9

    Литература Рекомендуемая литература 

           Скачать
 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ "ОСНОВЫ ГИДРОФИЗИКИ"
Автор: Козлов Д. В.

  Скачать Методичку

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ "ОСНОВЫ ГИДРОФИЗИКИ"
Автор: Козлов Д. В.

3.  АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

 

В настоящее время аналитическим путем решено очень большое количество одномерных задач теплопроводности.

А.В.Лыков, например, рассматривает четыре метода решения уравнения теплопроводности в условиях одномерной задачи: метод разделения переменных, метод источников, операционный метод, метод конечных интегральных преобразований.

В дальнейшем остановимся только на первом методе, получившем наибольшее распространение.

3.1. Метод разделения переменных при решении уравнения теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности в условиях одномерной задачи и без источников теплоты имеет вид

t/∂τ = a2t/∂x2.                                                   (3.1)

Это уравнение является частным случаем однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами для некоторой функции t от двух переменных x и τ:

 

(3.2)

 

Легко проверить, что частным решением этого уравнения будет выражение

t = C exp (αx + βτ).                                              (3.3)

Действительно:

t/∂x = αС ехрx + βτ);         t/∂τ = βС ехрx + βτ);

2t/∂x2 = α2С ехрx + βτ);

2t/∂τ2 = β2С ехрx + βτ);                 2t/(∂xτ) = αβС ехрx + βτ).          (3.4)

Совместное решение последних семи уравнении дает

a1α2 + b1αβ + c1β2 + d1α + l1β + f1 = 0.                 (3.5)

Последнее уравнение называется уравнением коэффициентов.

Переходя к уравнению (3.1) сопоставляя его с уравнением (3.2), заключаем, что

b1 = c1 = d1 = f1 = 0;         a1= - a;            l1 = 1.                           (3.6)

Уравнение коэффициентов (3.5) для частного случая уравнения (3.1) приобретает вид

- α2a + β = 0                                                         (3.7)

или

β = α2a.                                                                 (3.8)

Таким образом, частное решение (3.3) является интегралом дифференциального уравнения (3.1) и с учетом (3.8) приобретет вид

t = C exp (α2aτ + αx).                                           (3.9)

В этом уравнении можно задавать любые значения чисел для C, α, a.

Выражение (3.9) может быть представлено в виде произведения

t = C exp (α2aτ) exp (αx),                                     (3.10)

где сомножитель exp (α2aτ) является функцией только времени τ, а сомножитель exp (αx) — только расстояния x:

exp (α2aτ) = f (τ);              exp (αx) = φ (x).                      (3.11)

С увеличением времени τ температура во всех  точках непрерывно растет и может стать выше наперед заданной, что в практических задачах не встречается. Поэтому обычно берут только такие значения α, при которых α2 отрицательно, что возможно при α чисто мнимой величине.

Примем

α = ± iq,                                                                (3.12)

где q — произвольное действительное число (ранее значком q обозначали удельный тепловой поток),

 

В этом случае уравнение (3.10) приобретет следующий вид:

t = C exp (- q2aτ) exp (± iqx).                               (3.13)

Обращаясь к известной формуле Эйлера

exp (± ix) = cos x ± i sin x                                    (3.14)

и, пользуясь ею, преобразуем уравнение (3.13). Получим два решения в комплексном виде:

 

(3.15)

 

Суммируем левые и правые части уравнений (3.15), затем отделим действительные от мнимых частей в левой и правой частях суммы и приравняем их соответственно. Тогда получим два решения:

 

(3.16)

 

Введем обозначения:

(C1 + C2)/2 = D;   (C1 - C2)/2 = C                        (3.17)

тогда получим два решения, удовлетворяющих дифференциальному уравнению теплопроводности (3.1):

t1 = D exp (- q2aτ) cos (qx);          t2 = C exp (- q2aτ) sin (qx).      (3.18)

Известно, что если искомая функция имеет два частных решения, то и сумма этих частных решений будет удовлетворять исходному дифференциальному уравнению (3.1), т. е. решением этого уравнения будет

t = C exp (- q2aτ) sin (qx) + D exp (- q2aτ) cos (qx),                    (3.19)

а общее решение, удовлетворяющее этому уравнению, можно записать в следующем виде:

 

(3.20)

 

Любые значения qm, qn, Ci, Di в уравнении (3.20) будут удовлетворять уравнению (3.1). Конкретизация в выборе этих значений будет определяться начальными и граничными условиями каждой частной практической задачи, причем значения qm и qn определяются из граничных условий, а Ci, и Di, — из начальных.

Помимо общего решения уравнения теплопроводности (3.20) в котором имеет место произведение двух функций, одна из которых зависит от x, а другая - от τ, существуют еще решения, в которых такое разделение невозможно, например:

 

(3.21)

и

 

(3.22)

 

Оба решения удовлетворяют уравнению теплопроводности, в чем легко убедиться, продифференцировав их сначала по τ, а затем 2 раза по x и подставив результат в дифференциальное уравнение (3.1).

3.2. Частный пример нестационарного температурного поля в стенке

Рассмотрим пример применения полученного выше решения.

Исходные данные.

1.  Дана бетонная стенка толщиной 2X = 0,80 м.

2.  Температура окружающей стенку среды θ = 0°С.

3.  В начальный момент времени температура стенки во всех точках F(x)=1°C.

4.  Коэффициент теплоотдачи стенки α=12,6Вт/(м2·°С); коэффициент теплопроводности стенки λ=0,7Вт/(м·°С); плотность материала стенки ρ=2000кг/м3; удельная теплоемкость c=1,13·103Дж/(кг·°С); коэффициент температуро-проводности a=1,1·10-3м2/ч; относительный коэффициент теплоотдачи α/λ = h=18,0 1/м.

Требуется определить распределение температуры в стенке через 5 ч после начального момента времени.

Решение. Обращаясь к общему решению (3.20) и имея в виду, что начальное и последующие распределения температуры симметричны относительно оси стенки, заключаем, что ряд синусов в этом общем решении отпадает, и при x = Х оно будет иметь вид

 

(3.23)

 

Значения определены из граничных условий (без дополнительных здесь пояснений) и приведены в табл.3.1.

Располагая значениями из табл.3.1, находим искомый ряд значений по формуле

 

 

(3.24)

 

 

Таблица3.1

Значения функций, входящих в формулу (3.24)

i

1

2

3

4

5

qniX

sin(qniX)

cos(qniX)

1,38

0,982

0,189

4,18

—0,862

—0,507

7,08

0,713

0,701

10,03

—0,572

—0,820

13,08

0,488

0,874

 

т. е. Д1 = 1,250; Д2 = — 0,373; Д3 = 0,188; Д4 = — 0,109; Д5 = 0,072.

Начальное распределение температуры в рассматриваемой стенке приобретет следующий вид:

 

(3.25)

Чтобы получить расчетное распределение температуры через 5 ч после начального момента, необходимо определить ряд значений  на время через 5 ч. Эти расчеты выполнены в табл.3.2.

Таблица 3.2

Значения функций, входящих в формулу (3.23)

I

1

2

3

4

5

A=(qniX)2 (aτ/X2)

0,065

0,601

1,723

3,458

5,881

e-A

0,94

0,55

0,18

0,03

0,00

Di   e-A

1,175

—0,203

0,033

—0,003

0,000

 

Окончательное выражение для распределения температуры в толще стенки через 5 ч после начального момента

 

(3.26)

 

На рис.3.1 показано распределение температуры в толще стенки на начальный момент времени и через 5 ч. Наряду с общим решением здесь же изображены и частные, причем римскими цифрами указаны частные кривые, отвечающие последовательным слагаемым рядов (3.25) и (3.26).

Рис.3.1. Распределение температуры в стенке на начальный момент времени (слева) и через 5 ч (справа) [8]

 

При решении практических задач обычно нет необходимости определять температуру во всех точках стенки. Можно ограничиться расчетом температуры лишь для какой-либо одной точки, например для точки в середине стенки. В этом случае объем вычислительных работ по формуле (3.23) значительно сократится.

Если начальная температура в рассмотренном выше случае равна не 1 °С, а Тс, то уравнение (3.20) примет вид

 

(3.27)

 

3.3. Решение уравнения теплопроводности при различных граничных условиях [8]

Не будем приводить последовательный ход решения уравнения теплопроводности при других граничных условиях, которые имеют практическое значение в решении некоторых задач. Ниже ограничимся лишь формулировкой их условий с показом имеющихся готовых решений.

Задача № 1. Исходные данные. Стенка имеет толщину 2Х. В начальный момент во всех ее точках, кроме поверхности, температура Тс Температура на поверхности 0°С удерживается в течение всего расчетного периода.

Требуется найти t = f(x, τ).

Решение.

 

 

 

 

(3.28)

 

 

Пример к задаче № 1. Неподвижное водохранилище покрылось льдом при температуре наибольшей плотности воды (Тс = 4°С). Глубина водохранилища 5м (Х = 5 м). Рассчитать температуру воды в водохранилище через 3 месяца после ледостава. Температуропроводность неподвижной воды a = 4,8·10-4 м2/ч. Тепловой поток у дна, т. е. при x = 0, отсутствует.

В течение расчетного периода (τ=3·30·24=2160ч) температура на поверхности удерживается постоянной и равной нулю, т. е. при x = Х            Тп = 0°С.

Весь расчет сводим в табл. 3 и 4. Эти таблицы позволяют вычислить значения температуры через 3 месяца после начального момента для глубин у дна, а затем выше через 1 м, т. е. t0(дно) = 4°С; t1 = 4°С; t2 = 3,85°С; t3 = 3,30°С; t4 = 2,96°С; t5(пов) = 0°С.

 

 

 

 

 

 

Таблица3.3


Таблица3.4


Как видим, в абсолютно неподвижной воде температурные возмущения весьма медленно проникают вглубь. В природных условиях в водоемах под ледяным покровом всегда наблюдаются течения либо гравитационные (проточные), либо конвективные (разноплотностные), либо, наконец, вызванные поступлением грунтовых вод. Все многообразие указанных природных особенностей следует учитывать при практических расчетах, а рекомендации к этим расчетам можно найти в пособиях и в работах К.И.Россинского [37].

Задача №2. Исходные данные. Тело ограничено с одной стороны (полуплоскость). В момент времени τ = 0 во всех точках температура тела равна Тс. Для всех моментов времени τ > 0 на поверхности тела поддерживается температура Тп = 0°С.

Требуется найти распределение температуры в толще тела и потерю теплоты через свободную поверхность как функцию времени: t = f (x, τ),    

 

 

 

Решение. Температура в любой точке тела и в любой момент времени

 

(3.29)

 

где есть интеграл Гаусса. Его значения в зависимости от функции  даны в табл.3.5.

Таблица 3.5


Практически решение начинается с определения отношения , в котором х и τ заданы в условии задачи.

Количество теплоты, теряемой единицей поверхности тела в окружающую среду, определяется по закону Фурье. За весь расчетный период с начального момента до расчетного

 

(3.30)

 

Пример к задаче № 2. В начальный момент времени температура почвы от поверхности до значительной глубины была постоянной и равной 6°С. В этот момент температура на поверхности почвы упала до 0°С.

Требуется определить температуру почвы на глубине 0,5 м через 48 ч при значении коэффициента температуропроводности почвы a = 0,001 м2/ч, а также оценить количество теплоты, теряемое поверхностью за это время.

Решение. Определяем значение функции

Из табл.3.5 находим по интерполяции значение интеграла Гаусса

По формуле (3.29) температура почвы на глубине 0,5 м через 48 ч t=6·0,87=5,2°С.

Общее же количество теплоты, потерянной единицей поверхности почвы, при коэффициенте теплопроводности λ = 0,35 Вт/(м·°С), удельной теплоемкости c = 0,83·103 Дж/(кг·°С) и плотности ρ = 1500 кг/м3 определим по формуле (3.30) Q=l,86·106 Дж/м2.

Рис.3.2 Распределение температуры по глубине толщи [8]

 

Задача № 3. Исходные данные. Вследствие некоторого внешнего воздействия температура поверхности тела, ограниченного с одной стороны (полуплоскость), претерпевает периодические колебания около нуля. Будем считать, что эти колебания гармонические, т. е. температура поверхности меняется по косинусоиде:

 

(3.31)

 

где t — продолжительность колебания (период), T0 — температура поверхности,

T0 макс — ее максимальное отклонение,.

Требуется определить температурное поле как функцию времени.

Решение.

 

(3.32)

 

Амплитуда  колебаний температуры меняется с x по следующему закону (рис.3.2):

 

(3.33)

 

Пример к задаче № 3. Изменение температуры на поверхности сухой песчаной почвы в течение года характеризуется косинусоидальным ходом. Средняя годовая температура при этом равна 6°С при максимальных отклонениях от средней летом и зимой, достигающих 24 °С.

Требуется определить температуру грунта на глубине 1 м в момент, когда температура на поверхности равна 30°С (условно 1/VII).

Решение. Выражение косинусоиды (3.31) применительно к данному случаю (температуре поверхности) при T0 макс = 240С примет вид

Т0 = 24 cos (2πτ/8760) + 6.

Ввиду того, что поверхность грунта имеет среднюю годовую температуру 6°С, а не нуль, как в уравнении (3.32), расчетное уравнение примет следующий вид:

 

(3.34)

 

Приняв для грунта коэффициент температуропроводности a = 0,001 м2/ч и имея в виду, что по условию задачи необходимо определить температуру на конец расчетного периода (через 8760 ч от начального момента), найдем

 

 

Расчетное выражение (3.34) приобретет следующий вид: t = 24e-0,6·0,825 + 6 = 16,9 °С.

На той же глубине 1м максимальная амплитуда годового колебания температуры, согласно выражению (3.33), составит

T1 макс = 24e-0,6 = 13,2 °С,

а максимальная температура на глубине 1 м

t1 макс = Tx макс + 6 = 13,2 + 6 =19, 2 °С.

В заключение отметим, что рассмотренные задачи и подходы могут быть использованы при решении вопросов, связанных с выпуском теплой воды в водоем, а также при химическом методе определения расхода воды и в других случаях.


На Практическое занятие № 1-2
На Практическое занятие № 4

Copyright © 2002-2007 ГОУ Московский государственный университет природообустройства.                                                                                                           Наш e-mail: mailto:web-msuee@rambler.ru
Руководитель проекта: В.В. Шабанов
Дизайн и програмирование: Сиранчиев К.А.