Московский Государственный Университет Природообустройства
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА

Кафедра комплексного использования водных ресурсов

           Содержание
 Введение
 Осн. обозначения

Лекционный курс
 Лекция № 1-2
 Лекция № 3-4
 Лекция № 4-5
 Лекция № 6
 Лекция № 7
 Лекция № 8

Практический курс
 Практика № 1
 Практика № 1-2
 Практика № 2-3
 Практика № 4
 Практика № 5
 Практика № 6
 Практика № 7
 Практика № 8
 Практика № 9

    Литература Рекомендуемая литература 

           Скачать
 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ "ОСНОВЫ ГИДРОФИЗИКИ"
Автор: Козлов Д. В.

  Скачать Методичку

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ "ОСНОВЫ ГИДРОФИЗИКИ"
Автор: Козлов Д. В.

2.  ДВУХМЕРНОЕ СТАЦИОНАРНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ

 

В практике встречаются двухмерные стационарные температурные поля, например поле средней по глубине температуры водоема, поле температуры в сечении ледяного покрова и т. д.

В стационарном двухмерном температурном поле распределение температуры зависит только от двух координат (x, у). Для такого поля дифференциальное уравнение теплопроводности переходит в уравнение Лапласа и имеет вид

2t/∂x2 + 2t/∂y2 =0.                                              (2.1)

Аналитическое решение этого уравнения значительно сложнее, чем решение уравнения для одномерного поля. Поэтому в практических задачах для тел, имеющих сложные очертания и сложные граничные условия, аналитическое решение часто не удается получить. В таких случаях решение уравнения (2.1) выполняется приближенными методами, а именно: графическим методом, методом релаксации, электротепловой аналогии и др.

Метод релаксации. Метод релаксации предусматривает замену дифференциалов в уравнении стационарной теплопроводности (2.1) конечными разностями. При такой замене дифференциальное уравнение (2.1) примет вид

2t/∆x2 + 2t/∆y2 =0,                                            (2.2)

где x и y — стороны элементарных площадок, на которые разбито двухмерное тело; t — температура в узлах сетки. Построим сетку так, что x = y.

Обращаясь к рис.2.1, найдем вторые производные в конечных разностях по осям x и у в узле 0:

 

 

 

(2.3)

 

где первые производные

 

 

 

(2.4)

 

Решая  уравнение (2.2) совместно с выражениями (2.3) и (2.4) и учитывая, что x = y, получаем

 

(2.5)

 

откуда

t1 + t2 + t3 + t4 - 4t0 = 0                                          (2.6)

или

 

(2.7)

 

т. е. температура в узле сетки 0 равна среднему арифметическому значению температуры в соседних узлах. Выражение (2.6) справедливо для любого узла построенной сетки однородного плоского тела.

Рис. 2.1 Схема к расчету методом релаксации [8]

 

Записав уравнение (2.6) для каждого из узлов тепловой сетки, получим систему, состоящую из числа линейных уравнений, равного числу узлов сетки. Для решения этой системы уравнений применяют различные численные методы, и в частности, метод релаксации. Название метода происходит от латинского relaxatio — ослабление, означающего постепенный переход системы в равновесное состояние. Например, если температура в каком-либо узле сетки, зависящая от четырех соседних значений температуры, находится в равновесии с ними, то выполняется уравнение (2.6). Если она не находится в равновесии с соседними значениями температуры, то правая часть этого уравнения  не будет равна нулю, т.е.

t1 + t2 + t3 + t4 - 4t0 = ∆t,                                       (2.8)

где ∆t — остаток.

Для сведения к нулю правой части (остатка) каждого из уравнений системы, т.е. для приведения системы в равновесное состояние, и применяется этот метод.

Рассмотрим применение метода релаксаций на примере расчета распределения температуры в поперечном сечении ледяного покрова, канала при отсутствии снега с одной его стороны (рис.2.2). Ледяной покров лежит на воде. Температура поверхности льда под снегом —5°С, на границе —7,5°С, а в зоне отсутствия снега —10°С.

Выполним разбивку сечения толщи покрова на элементарные квадраты со сторонами x = y. Известно, что чем меньше шаг разбивки поля на квадраты, тем точнее решается задача. В рассмотренном примере в целях наглядности и простоты изложения ограничимся минимальным числом квадратов, приняв крупный шаг разбивки поля на квадраты.

Рис.2.2.  Расчет температуры в поперечном сечении ледяного покрова канала методом релаксации [8]

 

Назначим температуру в узловых точках полученной сетки сообразно смысловым требованиям граничных условий. Выпишем принятые значения температуры льда у каждой узловой точки, т. е. будем иметь —5, —3,75 и —2,5°С. Затем по уравнению (2.8) вычислим в этих точках остаток ∆t. Полученный остаток говорит о том, что температура льда в этих точках принята неправильно. Согласно уравнению (2.6), ее необходимо выравнять методом последовательного приближения, начиная с точки, в которой наблюдается максимальный остаток. В рассматриваемом примере максимальный остаток ∆tа = +1,25°С получился в точке а.

Для проведения выравнивания температуры (ее увеличения в точке а) изменим ее значение, согласно уравнению (2.8), ∆tа/4 = +1,25/4 = + 0,31°С, тогда получим ∆tа = —5,00 + 0,31 = = —4,69°С.

С учетом уточненного значения температуры льда в точке a определяем остаток ∆tб = +0,31°С в точке б. Затем уменьшим температуру в этой точке на ∆tб/4 = +0,31/4 = +0,08°С и получим tб = —3,75 + 0,08 = —3,67°С. После этого переходим к выравниванию температуры по изложенной схеме в узле в. Если повторный подсчет по уравнению (2.8) по-прежнему выявит остаток ∆t, то операции по его уменьшению в каждом узле повторяются и до тех пор, пока он не будет равен нулю, что означает, что температура в точках не меняется. Окончательный результат расчета температуры льда в нашем примере приведен на рис.2.2.

Таким образом, метод релаксации заключается в том, что, задаваясь первоначально произвольным, но более или менее вероятным распределением температуры, затем постепенно выравнивают ее последовательным приближением, пользуясь уравнениями (2.7) и (2.8). Следует заметить, что можно вычислить температуру в узлах сетки, пользуясь только уравнением (2.7), т. е. без вычисления остатка. Однако в этом случае объем вычислительных работ несколько больше, чем в первом варианте.

Метод релаксации может быть применен также для оценки двухмерного температурного поля неоднородного тела, в том числе с источниками теплоты и с произвольным шагом разбивки сетки.

Метод электротепловой аналогии (ЭТА). Большое число задач, встречающихся в теплотехнике, которые в настоящее время не могут быть решены теоретически, решаются с успехом экспериментально методом ЭТА. Метод ЭТА относится к физическим (экспериментальным), прост и не требует больших затрат времени и средств на решение поставленной задачи.

Метод электрической аналогии, к которому относится метод ЭТА, применяется в гидравлике, гидродинамике, аэромеханике, гидрологии, теории упругости, механике грунтов, строительной механике, океанологии и других науках. Этот метод теоретически обоснован и впервые внедрен в практику исследования академиком Н.Н.Павловским в 1922 г. при изучении вопроса фильтрации под гидротехническими сооружениями. В настоящее время этот метод широко известен как метод ЭГДА (электрогидродинамическая аналогия). Для решения этим методом различных задач разработаны специальные установки, получившие название электроинтеграторов.

Метод ЭГДА (ЭТА, ЭДА — электродиффузионной аналогии и т. д.) основан на аналогии математической записи двух разных физических явлений: с одной стороны, теплопроводности, диффузии, фильтрации и других в изучаемой среде, а с другой стороны — электропроводности в электропроводном материале, а именно:

1)      закона Фурье

 

(2.9)

 

закона Фика

 

(2.10)

 

закона Дарси

 

(2.11)

 

2)  закона Ома

 

(2.12)

 

где q1, q2, q3, I — соответственно удельный поток теплоты, диффундирующего вещества, фильтрующей воды, электричества; t, S, H, U — соответственно температура, концентрация, напор, электрический потенциал, изменяющиеся в направлении нормали n; λ, D, k, σ — соответственно коэффициент теплопроводности, диффузии, фильтрации, электропроводности; RТ = δ/λ, RД = δ/D, RФ = δ/k, RЭ = δ/σ — соответственно термическое, диффузионное, фильтрационное, электрическое сопротивление слоя n = δ.

Указанную аналогию можно так же легко проследить, если перейти от уравнений (2.9) — (2.12) к уравнениям Лапласа, описывающим двухмерные поля:

а)  тепловое

2t/∂x2 + 2t/∂y2 =0,                                              (2.13)

б)  диффузное

2S/∂x2 + 2S/∂y2 =0,                                            (2.14)

в)  фильтрующих вод

2H/∂x2 + 2H/∂y2 =0,                                          (2.15)

г)  электрическое

2U/∂x2 + 2U/∂y2 =0.                                          (2.16)

Используя представленную аналогию математической записи двух разных физических явлений, на практике по данным электрического поля, полученного в эксперименте на геометрически подобной модели и представляющего собой ортогональную сетку линий тока и эквипотенциалей, находят температурное поле и поток теплоты. Пересчет электрических характеристик в тепловые выполняют с помощью масштаба температуры

mt = t/U = (tмакс - tмин)/(Uмакс - Uмин)                (2.17)

и масштабов теплового потока и термического сопротивления:

mq = q/I = mt/mR,                                                  (2.18)

mR = RТ/RЭ,                                                          (2.19)

где t и U — перепад температуры и электрического потенциала в сходственных точках; tмакс и tмин — максимальное и минимальное значения температуры.

Рис. 2.3. Электрическая модель толщи многолетием мерзлоты (1) с рекой (3).

Температура воды в реке +4°С, поверхности многолетней мерзлоты —10°С.

Ũ — значение электрического потенциала в долях единицы

 

Для получения электрических характеристик используется прибор, собранный по мостовой схеме, для которой справедливо соотношение

r1/r2 = R1/R2 = (U1 - Ux)/ (UxU2).                      (2.20)

В выражении (2.20) R1 и R2 — сопротивления частей электрической модели влево и вправо от эквипотенциальной линии, a Ux — значение электрического потенциала на эквипотенциальной линии. В качестве электрической модели, заменяющей изучаемое тело, обычно применяют электропроводящую бумагу, а при решении пространственных задач — электролит.

На рис.2.3 показана схема прибора, на котором решается, например, задача об определении нулевой изотермы под рекой, протекающей в районе многолетней мерзлоты. В схему прибора входит электрическая модель 1, вырезанная из токопроводящей бумаги. По верхнему и нижнему участкам контура этой модели наложены металлические шины 2, 3, 4, на которые подается электрический потенциал, пропорциональный заданной температуре на этих участках. Шины соединены с источником электропитания. В цепь включен также делитель напряжения 5. Он предназначен для задания местонахождения очередной искомой эквипотенциали. Положение же эквипотенциали на модели определяется с помощью иглы 6, включенной в электрическую цепь через гальванометр 7 и подвижной контакт 8. В электрическую цепь должны быть включены также амперметр A и вольтметр V.

Работа на приборе ЭТА заключается в следующем. С помощью подвижного контакта 8 поочередно изменяем сопротивление левой и правой частей делителя напряжения 5 (r1 и r2). Одновременно при каждом положении контакта 8 ищем иглой 6 точки на модели, соответствующие нулевым показаниям гальванометра 7. Соединяя полученные точки плавными линиями, получаем эквипотенциали. После этого строим от руки линии тока, соблюдая ортогональность пересечения их с эквипотенциалями и добиваясь сетки, состоящей из криволинейных квадратов.

Выше установлено, что электрические и температурные поля аналогичны. Поэтому полученные линии равных потенциалов можно принять за изотермы.

Для пересчета электрических потенциалов в температуру (или силы тока в тепловой поток) следует воспользоваться масштабами mt и mq. Все расчеты удобнее вести в относительных единицах, приняв за единицу разность потенциалов и перепад температуры. В этом случае пересчет полученных в точках модели значений потенциала в температуру следует осуществлять по формуле

ti = tмин + (tмакс - tмин) Ũi,                                       (2.21)

где Ũi — значение электрического потенциала в точке в долях единицы.

Рассмотренный метод может быть успешно применен также для расчета температурных полей в слоистых и неоднородных средах как с граничными условиями первого рода, так и с граничными условиями третьего рода. В последнем случае термическое сопротивление на поверхности исследуемого тела учитывается путем добавления к электрической модели дополнительного слоя, равного l = λ/α.


На Практическое занятие № 1
На Практическое занятие № 2-3

Copyright © 2002-2007 ГОУ Московский государственный университет природообустройства.                                                                                                           Наш e-mail: mailto:web-msuee@rambler.ru
Руководитель проекта: В.В. Шабанов
Дизайн и програмирование: Сиранчиев К.А.